체비쇼프 함수

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1. 정의2. 소수 계승
2.1. 리만 제타 함수와의 관계2.2. 목록

1. 정의 [편집]

체비쇼프 함수(Chebyshëv function)는 소수와 관련된 두 가지 특수함수로, 제1종 체비쇼프 함수 ϑ(x)\vartheta(x)와 제2종 체비쇼프 함수 ψ(x)\psi(x)가 있으며 정의는 다음과 같다.

ϑ(x)≡∑p≤xln⁡p=∑n=1⌊x⌋1P(n) ln⁡nψ(x)≡∑pk≤xln⁡p=∑n=1⌊x⌋Λ(n)\displaystyle \begin{aligned} \vartheta(x) &\equiv \sum_{p ≤ x} \ln p = \sum_{n=1}^{\lfloor x \rfloor} \bold{1}_{\mathbb{P}}(n)\, \ln n \\ \psi(x) &\equiv \sum_{p^k ≤ x} \ln p = \sum_{n=1}^{\lfloor x \rfloor} \Lambda(n) \end{aligned} \qquad

위에서 pp는 소수, 1P(n)\bold{1}_{\mathbb{P}}(n)은 소수 판별 함수, Λ(n)\Lambda(n)은 폰 망골트 함수, ⌊x⌋\lfloor x \rfloor는 바닥함수이다.

정의대로 1종 체비쇼프 함수는 소수의 자연로그값을 합하며, 2종 체비쇼프 함수는 소수와 소수 제곱수의 소인수 자연로그값을 합한 값을 띤다.

함수 표기에 주의할 필요가 있다. 각각 세타 함수[1]와 디감마 함수와 겹치기 때문에 사전에 이것이 체비쇼프 함수라고 알려주어야 혼동이 없다.

2. 소수 계승 [편집]

소수 계승(primorial[2][3])은 다음과 같이 정의되는 함수이다.

n#=eϑ(n)=∏p≤n,  p ∈ Ppn\#=e^{\vartheta(n)}=\displaystyle\prod_{p\leq n, \ \ p\,\in\,{\mathbb P}}p

즉, 소수 계승 n#n\#은 자연수 nn 이하의 모든 소수를 곱한 값이다.

소수 정리에 의해, 체비쇼프 함수는 lim⁡n→∞ϑ(n)/n=1\lim\limits_{n \to \infty} \vartheta(n)/n=1을 만족시킨다. 따라서 양변에 exp\rm{exp} 함수[4]를 취하면 소수 계승은 lim⁡n→∞(n#)1/n=e\lim\limits_{n \to \infty}(n\#)^{1/n}=e를 만족시킨다.

2.1. 리만 제타 함수와의 관계 [편집]

pnp_n을 nn번째 소수라고 하자. 소수 계승은 s=2,3,...s=2, 3, ...일 때 다음과 같은 리만 제타 함수와의 관계를 만족시킴이 알려져 있다.

ζ(s)=2s2s−1+∑n=2∞(pn−1#)sJs(pn#),    ⋯(1)\zeta(s)=\dfrac{2^s}{2^s-1}+\displaystyle\sum_{n=2}^\infty \dfrac{(p_{n-1}\#)^s}{J_s(p_n\#)}, \ \ \ \ \cdots(1)

Js(n)=ns∏p∣n(1−1ps)J_s(n)=n^s\displaystyle\prod_{p|n}(1-\dfrac{1}{p^s})

여기서 JsJ_s는 Jordan's totient function이라고 부른다. s=1s=1일 때 JsJ_s는 오일러 파이 함수와 같아진다.

s=1s=1이면 좌변 ζ(s)\zeta(s)는 당연히 양의 무한대로 발산하고, 우변 또한 양의 무한대로 발산한다. s=1s=1일 때 우변이 발산한다는 사실은 다음과 같이 증명된다.

∑n=2∞pn−1#J1(pn#) = ∑n=2∞pn−1#pn#⋅∏k=1n(1−1pk) = ∑n=2∞1pn⋅1∏k=1n(1−1pk) ≥ ∑n=2∞1pn\displaystyle\sum_{n=2}^\infty \dfrac{p_{n-1}\#}{J_1(p_n\#)}\ =\ \displaystyle\sum_{n=2}^\infty \dfrac{p_{n-1}\#}{p_n\# \cdot \displaystyle\prod_{k=1}^n (1-\dfrac{1}{p_k})}\ =\ \displaystyle\sum_{n=2}^\infty \dfrac{1}{p_n}\cdot \dfrac{1}{\displaystyle\prod_{k=1}^n (1-\dfrac{1}{p_k})}\ \geq\ \displaystyle\sum_{n=2}^\infty \dfrac{1}{p_n}

따라서, 소수의 역수의 합은 발산하므로 비교판정법에 의해 발산한다.

또한 실수부가 1보다 큰 임의의 복소수 ss에 대해 다음과 같은 관계가 성립한다.

ζ(s)=2s2s−1+∑n=2∞(pn−1#)sζn(s)(pn#)s,    ⋯(2)\zeta(s)=\dfrac{2^s}{2^s-1}+\displaystyle\sum_{n=2}^\infty \dfrac{(p_{n-1}\#)^s \zeta_n(s)}{(p_n\#)^s}, \ \ \ \ \cdots(2)

ζn(s)=∏i=1n11−pis\zeta_n(s)=\displaystyle\prod_{i=1}^n \dfrac{1}{1-p_i^s}

여기서 ζn\zeta_n은 리만 제타 함수의 처음 nn개 항의 부분합이다.

두 식의 출처. 여기에서 (2)(2)번 식의 유도 과정을 알아볼 수 있다.

(1)(1)번 식은 (2)(2)번 식에 비해 ss의 범위가 상당히 제한되어 있다는 단점이 있다. 그러나 이는 다른 ss값들에 대해 증명이 안 됐을 뿐일 수도 있다. 왜냐하면 실제로 계산해봤을 때 자연수가 아닌 실수 ss에 대해서도 해당 식이 성립하는 것처럼 보이기 때문이다. 아래 Mathematica 코드를 통해 직접 계산해볼 수 있다.[5]
p[0]=1;
p[n_]:=p[n-1]*Prime[n]
J[k_,n_]:=p[n]^k*Product[1-1/Prime[i]^k,{i,1,n}]
z1[k_,n_]:=Sum[p[r-1]^k/J[k,r],{r,2,n}]+2^k/(2^k-1)//N
p[0]=1;
p[n_]:=p[n-1]*Prime[n]
zeta[s_,n_]:=Sum[1/i^s,{i,1,n}]
z2[k_,n_]:=Sum[p[r-1]^k*zeta[k,r]/p[r]^k,{r,2,n}]+2^k/(2^k-1)//N
(1)(1)
(2)(2)
직접 계산해보면 (1)(1)번 식이 (2)(2)번 식보다 수렴 속도가 훨씬 빠른 것처럼 보이며, 이것은 (1)(1)번 식의 큰 장점이 될 수 있다.

(1)(1)번 식을 증명한 논문[6]이 사라져 있다. 해당 저널을 들어가 보면 다른 논문이 있고, 저자 사이트의 해당 논문 링크로 들어가보면 오류가 뜬다. 위키피디아와 위 출처에서 해당 논문을 인용하고 있는 것을 보면 어느순간 내려간 듯한데 이 부분에 대한 자세한 확인이 필요하다.

2.2. 목록 [편집]

nn
pn#p_n\#[7]
식
1
2
2
2
6
2×3
3
30
2×3×5
4
210
2×3×5×7
5
2310
2×3×5×7×11
6
30030
2×3×5×7×11×13
7
510510
2×3×5×7×11×13×17
8
9699690
2×3×5×7×11×13×17×19
9
223092870
2×3×5×7×11×13×17×19×23
10
6469693230
2×3×5×7×11×13×17×19×23×29
[1] 세타 함수는 이변수 함수이기 때문에 그나마 혼동이 적은 편. 참고로 이 함수의 풀네임(?)은 '야코비 세타 함수(Jacobi theta function)'이다.[2] prime(소수)과 factorial(계승)을 합친 단어다.[3] 기호인 #\#는 위상수학에서 연결합(Connected sum)을 나타내는 용도로 쓰이므로 헷갈리지 않게 주의.[4] ee의 거듭제곱 함수[5] 아래 코드를 복붙하여 실행한 이후 z1, z2 함수의 값을 보면 된다. z1, z2의 변수 k에는 (1)(1), (2)(2)번 식의 ss 값을 입력해주고, 변수 n에는 몇 번째 항까지 계산해줄지를 입력해주면 된다.[6] Mező, István (2013). "The Primorial and the Riemann zeta function". The American Mathematical Monthly. 120 (4): 321.[7] pnp_n은 nn번째 소수

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